1с 8 3 m19 *erf скачатьКислицын Шабаров УМК Тепломассообмен / КраткийКонспектЛекций / Тема3-3.3.3.Температурное поле непрерывного неподвижного точечного источника в неограниченной среде. Функция ошибок Гаусса (функция erf(x)). Если в точке с координатами x ' , y ' , z ' в интервале времени от t ' = 0 до t ' = t работает источник тепла мощностью W, то температурное поле этого источника, как указано выше, может быть найдено интегрированием фундаментального решения по t ' от 0 до t (т.е. от момента включения до момента выключения источника). Поместим начало координат в точку, где находится источник тепла. Тогда x' = y' = z' = 0, и формула для температуры принимает вид: где r 2 = (x - x') 2 + (y - y') 2 + (z - z') 2 = x 2 + y 2 + z 2 - квадрат расстояния от источника до точки наблюдения. Первый интеграл, стоящий в скобках, известен из курса высшей математики: а второй интеграл через элементарные функции не выражается и определяет специальную функцию, которая называется функцией ошибок Гаусса , или интегралом вероятностей , или функцией эрфектум : (читается "эрфектум" или сокращенно: "эрф"). Через эту функцию выражаются решения многих задач в теории теплопроводности, да и в других областях физики она играет важную роль. Из определения (3.3.3) видно, что erf(0) = 0, а erf( ? ) = 1, т.е. erf(x) - это монотонно возрастающая функция, вид которой изображен на Рис.3.3. Функция erf(x) табулирована, и ее значения приводятся в различных справочниках; в таблице 3.1 приведены несколько значений этой функции. В библиотеках некоторых языков программирования имеются готовые подпрограммы для вычисления функции erf(x) . Если готовой подпрограммы нет, функцию erf(x) можно вычислить с помощью степенного ряда. "Стандартное" разложение этой функции в степенной ряд, которое обычно приводится в математических справочниках, имеет вид: Э тот ряд удобен для анализа свойств функции, но для практических расчетов он неудобен, т.к. является знакопеременным, что при вычислениях приводит к потере точности. Более удобен следующий ряд: помощью этого ряда легко составить программу вычисления erf(x) на любом языке программирования и даже на программируемом микрокалькуляторе. Суммирование надо прекращать, когда при добавлении очередного a n -го слагаемого сумма перестанет меняться (будет достигнута "машинная точность"). Если большой точности не требуется, то можно использовать приближенную формулу: Формула (3.3.6) дает значения, абсолютная погрешность которых не более 6.3?10 -3 , а относительная погрешность не более 0.71%. Иногда требуется определить erf(x) в области отрицательных значений x . Из формулы (3.3.3) очевидно, что erf(-x) = - erf(x). Заметим, что хотя функция erf(x) не является "элементарной", с точки зрения ее свойств и способов вычисления она проще, чем многие "элементарные" функции, например, тригонометрические. С функцией erf(x) связано еще несколько функций, часто встречающихся в теплофизических задачах. Это прежде всего дополнительный интеграл вероятностей : который встречается настолько часто, что для него используется специальное обозначение: erfc(x) (сокращенно читается "эрфик"). Вид этой функции также приведен на рис.3.3. Довольно часто функцию erf(x) приходится дифференцировать и интегрировать. Из определения (3.3.3) следует, что. а интеграл от erfc(x) (обозначается как ierfc(x) ) равен: Вернемся к формуле (3.3.2). Замечая, что ? ca = ? , запишем эту формулу в виде: При t ? ? значение функции ? 0, ? 1, и формула (3.3.10), как и должно быть, совпадает с формулой для стационарного решения (если T 0 принять за начало отсчета температуры), т.к. при t ? ? достигается стационарное распределение температуры в безграничной среде. Таблица 3.1. Некоторые значения функции erf(x) . | |
|
Скачать:
 | |